Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+x^3)/(-1+x)
-
Límite de (-9+x^2)/(-3+x)
-
Límite de (-3+x)/(-9+x^2)
-
Límite de x^sin(x)
- Derivada de:
-
(x+sqrt(x))/(x-sqrt(x))
-
Expresiones idénticas
- (x+sqrt(x))/(x-sqrt(x))
- (x más raíz cuadrada de (x)) dividir por (x menos raíz cuadrada de (x))
- (x+√(x))/(x-√(x))
- x+sqrtx/x-sqrtx
- (x+sqrt(x)) dividir por (x-sqrt(x))
-
Expresiones semejantes
- x+sqrt(x)/(x-sqrt(x))
- (x-sqrt(x))/(x-sqrt(x))
- (x+sqrt(x))/(x+sqrt(x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x^2)-x
- sqrt(x)/(-1+x)
- sqrt(6+x^2-5*x)-x
- sqrt(2+x)-sqrt(x)
- sqrt(4+x^2)-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x^2)-x
- sqrt(x)/(-1+x)
- sqrt(6+x^2-5*x)-x
- sqrt(2+x)-sqrt(x)
- sqrt(4+x^2)-x
Límite de la función (x+sqrt(x))/(x-sqrt(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___\
|x + \/ x |
lim |---------|
x->oo| ___|
\x - \/ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
Limit((x + sqrt(x))/(x - sqrt(x)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} - x$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x} \left(\sqrt{x} - x\right)}{\sqrt{x} - x}$$
=
$$\frac{- x^{2} + x}{\left(- \sqrt{x} + x\right) \left(\sqrt{x} - x\right)}$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x} - x$$
obtendremos
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - x\right) \left(- x^{2} + x\right)}{\left(- \sqrt{x} + x\right) \left(\sqrt{x} - x\right) \left(- \sqrt{x} - x\right)}$$
=
$$\frac{\left(-1\right) x \left(- \sqrt{x} - x\right) \left(x - 1\right)}{\left(\sqrt{x} - x\right) \left(- x^{2} + x\right)}$$
=
$$\frac{- x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x^{3} + x^{2}}{x^{\frac{5}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{3} + x^{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x^{3} + x^{2}}{x^{\frac{5}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{3} + x^{2}}\right)$$
=
$$-1$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} - x$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x} \left(\sqrt{x} - x\right)}{\sqrt{x} - x}$$
=
$$\frac{- x^{2} + x}{\left(- \sqrt{x} + x\right) \left(\sqrt{x} - x\right)}$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x} - x$$
obtendremos
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - x\right) \left(- x^{2} + x\right)}{\left(- \sqrt{x} + x\right) \left(\sqrt{x} - x\right) \left(- \sqrt{x} - x\right)}$$
=
$$\frac{\left(-1\right) x \left(- \sqrt{x} - x\right) \left(x - 1\right)}{\left(\sqrt{x} - x\right) \left(- x^{2} + x\right)}$$
=
$$\frac{- x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x^{3} + x^{2}}{x^{\frac{5}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{3} + x^{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - x^{3} + x^{2}}{x^{\frac{5}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{3} + x^{2}}\right)$$
=
$$-1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + x\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{x} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + x\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{x} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ___\
|x + \/ x |
lim |---------|
x->0+| ___|
\x - \/ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
-1
$$-1$$
= -1.02688820657171
/ ___\
|x + \/ x |
lim |---------|
x->0-| ___|
\x - \/ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right)$$
-1
$$-1$$
= (-0.999144704855391 - 0.0277499166326785j)
= (-0.999144704855391 - 0.0277499166326785j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{- \sqrt{x} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico