Sr Examen

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(1-cos(x))/(x*sin(x))
Límite de la función/ cos(x)/ sin(x)/ (1-cos(x))/(x*sin(x))

Límite de la función (1-cos(x))/(x*sin(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+\ x*sin(x) /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right) 
Limit((1 - cos(x))/((x*sin(x))), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(xsin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(1−cos⁡(x))ddxxsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)xcos⁡(x)+sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)xcos⁡(x)+sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}\right)
=
12\frac{1}{2}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50100
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))=12\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))=12\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{2}
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))=−−1+cos⁡(1)sin⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))=−−1+cos⁡(1)sin⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/2
12\frac{1}{2}
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+\ x*sin(x) /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0-\ x*sin(x) /
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)xsin⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
= 0.5
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5
Gráfico
Límite de la función (1-cos(x))/(x*sin(x))
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