Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \log{\left(2 x + 1 \right)} + \tan{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(2 x + 1 \right)} + \tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(2 x + 1 \right)} + \tan{\left(2 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2 - \frac{2}{2 x + 1}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2 - \frac{2}{2 x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 \tan^{3}{\left(2 x \right)} + 4 \tan{\left(2 x \right)} + \frac{2}{4 x^{2} + 4 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 \tan^{3}{\left(2 x \right)} + 4 \tan{\left(2 x \right)} + \frac{2}{4 x^{2} + 4 x + 1}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)