Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)