Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \left(4 x + 3\right) \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\frac{3 x + 2}{2 - 3 x} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x^{2} + 3 x \right)}}{\log{\left(\frac{6 x + 4}{4 - 6 x} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \left(4 x + 3\right) \right)}}{\log{\left(\frac{3 x + 2}{2 - 3 x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \left(4 x + 3\right) \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{3 x + 2}{2 - 3 x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3 x + 2\right) \left(8 x + 3\right) \cos{\left(x \left(4 x + 3\right) \right)}}{\left(2 - 3 x\right) \left(\frac{3}{2 - 3 x} + \frac{3 \left(3 x + 2\right)}{\left(2 - 3 x\right)^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)