Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- x*log(uno +exp(uno /x))
- x multiplicar por logaritmo de (1 más exponente de (1 dividir por x))
- x multiplicar por logaritmo de (uno más exponente de (uno dividir por x))
- xlog(1+exp(1/x))
- xlog1+exp1/x
- x*log(1+exp(1 dividir por x))
-
Expresiones semejantes
- x*log(1-exp(1/x))
- exp(-1/x)*log(1+exp(1/x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sqrt((1+x)/(1-x)))/x
- log(x-a)/log(e^x-e^a)
- log(-5+x)/log(e^x-e^5)
- log(5+x)/(3+x)^(1/4)
- log(sin(x))/(-pi+2*x)^2
- Exponente exp
- exp(x)/(x^5-4*x^3)
- exp(1/x)/(-1+exp(1/x))
- exp(x*log((a+x)/(x-a)))
- exp(-1/x)*log(1+exp(1/x))
- exp(2-x^2)
Límite de la función x*log(1+exp(1/x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 1\\
| | -||
| | x||
lim \x*log\1 + e //
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right)$$
Limit(x*log(1 + exp(1/x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right) e^{- \frac{1}{x}} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right) e^{- \frac{1}{x}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{2} e^{\frac{1}{x}} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{3} + x^{2} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{3}\right) \left(2 x + 2 x e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}\right) e^{- \frac{1}{x}}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{2} e^{\frac{1}{x}} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{3} + x^{2} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{3}\right) \left(2 x + 2 x e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}\right) e^{- \frac{1}{x}}}{2}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right) e^{- \frac{1}{x}} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right) e^{- \frac{1}{x}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{2} e^{\frac{1}{x}} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{3} + x^{2} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{3}\right) \left(2 x + 2 x e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}\right) e^{- \frac{1}{x}}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{2} e^{\frac{1}{x}} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{3} + x^{2} \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}^{3}\right) \left(2 x + 2 x e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}\right) e^{- \frac{1}{x}}}{2}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / 1\\
| | -||
| | x||
lim \x*log\1 + e //
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right)$$
1
$$1$$
= 1
/ / 1\\
| | -||
| | x||
lim \x*log\1 + e //
x->0-
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right)$$
0
$$0$$
= -5.95214409827403e-19
= -5.95214409827403e-19
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(e^{\frac{1}{x}} + 1 \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo