Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x*log(x))/x
- raíz cuadrada de (x multiplicar por logaritmo de (x)) dividir por x
- √(x*log(x))/x
- sqrt(xlog(x))/x
- sqrtxlogx/x
- sqrt(x*log(x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (-2+sqrt(x))*log(x)/x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)*log(2)^3/log(x)^3
- sqrt(1+x^2-4*x)-sqrt(x+x^2)
- sqrt(4+x^2+5*x)-sqrt(x+x^2)
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- Logaritmo log
- log(9-2*x^2)/sin(2*pi*x)
- log(2+cos(x))/(-1+3^sin(x))^2
- log(1+m*x)/x
- log(1-cos(x))/log(tan(x))
- log(1+3^x)/log(1+2^x)
Límite de la función sqrt(x*log(x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________\
|\/ x*log(x) |
lim |------------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Limit(sqrt(x*log(x))/x, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x \log{\left(x \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}} \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{x \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x \log{\left(x \right)}}{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} - \frac{- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}}{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} - \frac{- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}}{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x \log{\left(x \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}} \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{x \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x \log{\left(x \right)}}{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} - \frac{- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}}{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} - \frac{- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}}{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x \log{\left(x \right)}}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo