Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{3 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x e^{x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- x}}{3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{3 x} - 1\right) e^{- x}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{3 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} 3 x e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 e^{3 x}}{3 x e^{x} + 3 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{3 x e^{x} + 3 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{3 x e^{x} + 3 e^{x}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)