Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- exp(x)*log(uno +exp(-x))
- exponente de (x) multiplicar por logaritmo de (1 más exponente de ( menos x))
- exponente de (x) multiplicar por logaritmo de (uno más exponente de ( menos x))
- exp(x)log(1+exp(-x))
- expxlog1+exp-x
-
Expresiones semejantes
- exp(x)*log(1-exp(-x))
- exp(x)*log(1+exp(x))
-
Expresiones con funciones
- Exponente exp
- exp(-x)/x^3
- exp(x)/x^2
- exp(-1/x^2)/x
- exp(4*x)*sin(exp(-x))
- exp(3*x)
- Logaritmo log
- log(x)*sin(x)
- log(1/x)^x
- log(x)/(1+2*log(sin(x)))
- log(x)/cot(2*x)
- log(x)*log(1-x)
- Exponente exp
- exp(-x)/x^3
- exp(x)/x^2
- exp(-1/x^2)/x
- exp(4*x)*sin(exp(-x))
- exp(3*x)
Límite de la función exp(x)*log(1+exp(-x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x / -x\\ lim \e *log\1 + e // x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right)$$
Limit(exp(x)*log(1 + exp(-x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\left(e^{x} + 1\right) e^{- x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \log{\left(\left(e^{x} + 1\right) e^{- x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\left(e^{x} + 1\right) e^{- x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(- e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}^{2} - \log{\left(1 + e^{- x} \right)}^{2}\right) e^{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(- e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}^{2} - \log{\left(1 + e^{- x} \right)}^{2}\right) e^{x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\left(e^{x} + 1\right) e^{- x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \log{\left(\left(e^{x} + 1\right) e^{- x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\left(e^{x} + 1\right) e^{- x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(- e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}^{2} - \log{\left(1 + e^{- x} \right)}^{2}\right) e^{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(- e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}^{2} - \log{\left(1 + e^{- x} \right)}^{2}\right) e^{x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = - e + e \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = - e + e \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = - e + e \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = - e + e \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \log{\left(1 + e^{- x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo