Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{2 x + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\sqrt{2 x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \sqrt{2 x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x + 1}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)