Sr Examen

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(sqrt(2+x)-sqrt(2))/x
Límite de la función/ sqrt(2)/ sqrt(2+x)/ (sqrt(2+x)-sqrt(2))/x

Límite de la función (sqrt(2+x)-sqrt(2))/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  _______     ___\
     |\/ 2 + x  - \/ 2 |
 lim |-----------------|
x->0+\        x        /
lim⁡x→0+(x+2−2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) 
Limit((sqrt(2 + x) - sqrt(2))/x, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(x+2−2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right)
Multiplicamos numerador y denominador por
x+2+2\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}
obtendremos
x+2−2x(x+2+2)x+2+2\frac{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x} \left(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}\right)}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}}
=
1x+2+2\frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}}
=
1x+2+2\frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}}
Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(x+2−2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right)
=
lim⁡x→0+1x+2+2\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}}
=
24\frac{\sqrt{2}}{4}
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(x+2−2)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} x = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(x+2−2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(x+2−2)ddxx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)
=
lim⁡x→0+(12x+2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}\right)
=
lim⁡x→0+(24)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)
=
lim⁡x→0+(24)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)
=
24\frac{\sqrt{2}}{4}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
  ___
\/ 2 
-----
  4
24\frac{\sqrt{2}}{4}
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(x+2−2x)=24\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(x+2−2x)=24\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}
lim⁡x→∞(x+2−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(x+2−2x)=−2+3\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(x+2−2x)=−2+3\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(x+2−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /  _______     ___\
     |\/ 2 + x  - \/ 2 |
 lim |-----------------|
x->0+\        x        /
lim⁡x→0+(x+2−2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) 
  ___
\/ 2 
-----
  4
24\frac{\sqrt{2}}{4} 
= 0.353553390593274
     /  _______     ___\
     |\/ 2 + x  - \/ 2 |
 lim |-----------------|
x->0-\        x        /
lim⁡x→0−(x+2−2x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}\right) 
  ___
\/ 2 
-----
  4
24\frac{\sqrt{2}}{4} 
= 0.353553390593274
= 0.353553390593274
Respuesta numérica [src] 
0.353553390593274
0.353553390593274
Gráfico
Límite de la función (sqrt(2+x)-sqrt(2))/x
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