Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
-
Expresiones idénticas
- -x+x*cos(uno /x)+x*sin(uno /x)
- menos x más x multiplicar por coseno de (1 dividir por x) más x multiplicar por seno de (1 dividir por x)
- menos x más x multiplicar por coseno de (uno dividir por x) más x multiplicar por seno de (uno dividir por x)
- -x+xcos(1/x)+xsin(1/x)
- -x+xcos1/x+xsin1/x
- -x+x*cos(1 dividir por x)+x*sin(1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- x+x*cos(1/x)+x*sin(1/x)
- -x-x*cos(1/x)+x*sin(1/x)
- -x+x*cos(1/x)-x*sin(1/x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/x
- cos(2*x)^3/x^2
- cos(x)^3
- cosh(x)/sinh(2*x)
- cos(x)/x^2
- Seno sin
- sin(5*x)/x
- sin(2*x)/(3*x)
- sin(x)^x
- sin(2*x)
- sin(6*x)/x
Límite de la función -x+x*cos(1/x)+x*sin(1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /1\ /1\\ lim |-x + x*cos|-| + x*sin|-|| x->oo\ \x/ \x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right)$$
Limit(-x + x*cos(1/x) + x*sin(1/x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \left(x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - x\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo