Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función/ -pi/2/ tan(2*x)/ x*(-pi/2+atan(2*x))

Límite de la función x*(-pi/2+atan(2*x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  /-pi             \\
 lim |x*|---- + atan(2*x)||
x->oo\  \ 2              //
lim⁡x→∞(x(atan⁡(2x)+(−1)π2))\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \frac{\left(-1\right) \pi}{2}\right)\right) 
Limit(x*((-pi)/2 + atan(2*x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→∞(x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2}\right) = \infty
y el límite para el denominador es
lim⁡x→∞12atan⁡(2x)−π=−∞\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi} = -\infty
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→∞(x(atan⁡(2x)+(−1)π2))\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \frac{\left(-1\right) \pi}{2}\right)\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→∞(x(2atan⁡(2x)−π)2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)}{2}\right)
=
lim⁡x→∞(ddxx2ddx12atan⁡(2x)−π)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi}}\right)
=
lim⁡x→∞((−x22−18)(2atan⁡(2x)−π)2)\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8}\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{2}\right)
=
lim⁡x→∞(ddx(−x22−18)ddx1(2atan⁡(2x)−π)2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{2}}}\right)
=
lim⁡x→∞(x(4x2+1)(2atan⁡(2x)−π)38)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(4 x^{2} + 1\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{3}}{8}\right)
=
lim⁡x→∞(ddxx(4x2+1)8ddx1(2atan⁡(2x)−π)3)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(4 x^{2} + 1\right)}{8}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{3}}}\right)
=
lim⁡x→∞(−(3x22+18)(4x2+1)(2atan⁡(2x)−π)412)\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{8}\right) \left(4 x^{2} + 1\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{4}}{12}\right)
=
lim⁡x→∞(ddx(−(3x22+18)(4x2+1)12)ddx1(2atan⁡(2x)−π)4)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\left(\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{8}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)}{12}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{4}}}\right)
=
lim⁡x→∞((−2x3−x3)(−8x2atan⁡5(2x)+20πx2atan⁡4(2x)−20π2x2atan⁡3(2x)+10π3x2atan⁡2(2x)−5π4x2atan⁡(2x)2+π5x24−2atan⁡5(2x)+5πatan⁡4(2x)−5π2atan⁡3(2x)+5π3atan⁡2(2x)2−5π4atan⁡(2x)8+π516))\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x^{3} - \frac{x}{3}\right) \left(- 8 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 20 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 20 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + 10 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\pi^{5} x^{2}}{4} - 2 \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 5 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 5 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\pi^{5}}{16}\right)\right)
=
lim⁡x→∞((−2x3−x3)(−8x2atan⁡5(2x)+20πx2atan⁡4(2x)−20π2x2atan⁡3(2x)+10π3x2atan⁡2(2x)−5π4x2atan⁡(2x)2+π5x24−2atan⁡5(2x)+5πatan⁡4(2x)−5π2atan⁡3(2x)+5π3atan⁡2(2x)2−5π4atan⁡(2x)8+π516))\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x^{3} - \frac{x}{3}\right) \left(- 8 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 20 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 20 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + 10 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\pi^{5} x^{2}}{4} - 2 \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 5 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 5 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\pi^{5}}{16}\right)\right)
=
−12- \frac{1}{2}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5050
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
-1/2
−12- \frac{1}{2}
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(x(atan⁡(2x)+(−1)π2))=−12\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \frac{\left(-1\right) \pi}{2}\right)\right) = - \frac{1}{2}
lim⁡x→0−(x(atan⁡(2x)+(−1)π2))=0\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \frac{\left(-1\right) \pi}{2}\right)\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(x(atan⁡(2x)+(−1)π2))=0\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \frac{\left(-1\right) \pi}{2}\right)\right) = 0
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(x(atan⁡(2x)+(−1)π2))=−π2+atan⁡(2)\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \frac{\left(-1\right) \pi}{2}\right)\right) = - \frac{\pi}{2} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(x(atan⁡(2x)+(−1)π2))=−π2+atan⁡(2)\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \frac{\left(-1\right) \pi}{2}\right)\right) = - \frac{\pi}{2} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(x(atan⁡(2x)+(−1)π2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \frac{\left(-1\right) \pi}{2}\right)\right) = \infty
Más detalles con x→-oo
    © Sr Examen – Калькулятор