Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función sqrt(x)*(4+x)/(2+x^(3/2))

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /  ___        \
     |\/ x *(4 + x)|
 lim |-------------|
x->oo|        3/2  |
     \   2 + x     /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right)$$
Limit((sqrt(x)*(4 + x))/(2 + x^(3/2)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(x + 4\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{\frac{3}{2}} + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x} \left(x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{\frac{3}{2}} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}\right)}{3 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}\right)}{3 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(x + 4\right)}{x^{\frac{3}{2}} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
1
$$1$$