Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+} \sin{\left(\sqrt{x + 2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+} \sqrt{x + 2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{x + 2} \right)}}{\sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\sqrt{x + 2} \right)}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+} \cos{\left(\sqrt{x + 2} \right)}$$
=
$$\lim_{x \to -2^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to -2^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)