Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- x/sin(pi*x/ dos)
- x dividir por seno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2)
- x dividir por seno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos)
- x/sin(pix/2)
- x/sinpix/2
- x dividir por sin(pi*x dividir por 2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^2/(1+cos(x))
- sin(3*x)/(9*x)
- sin(3*x)/x^2
- sin(3*x)/sin(x)
- sin(x)/(x+tan(x))
- Número Pi pi
- pi*cos(x)/3
- Piecewise((-1-x,x<-1),((1+x)^2,x<=1),(x,True))
- pi-2*asin(x/5)
- pi*x*tan(3)^2*sin(5*pi*x)*tan(2*pi*x)/cos(7*pi*x)
- pi/(2*x*(1+x)*(2+x))
Límite de la función x/sin(pi*x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
lim |---------|
x->0+| /pi*x\|
|sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Limit(x/sin((pi*x)/2), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{\pi x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\pi \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{\pi}$$
=
$$\frac{2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{\pi}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \frac{2}{\pi}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{\pi x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\pi \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{\pi}$$
=
$$\frac{2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{\pi}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \frac{2}{\pi}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\pi}\right)$$
=
$$\frac{2}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\pi}\right)$$
=
$$\frac{2}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \frac{2}{\pi}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \frac{2}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \frac{2}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x \
lim |---------|
x->0+| /pi*x\|
|sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
2 -- pi
$$\frac{2}{\pi}$$
= 0.636619772367581
/ x \
lim |---------|
x->0-| /pi*x\|
|sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
2 -- pi
$$\frac{2}{\pi}$$
= 0.636619772367581
= 0.636619772367581