Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x)*(uno -cos(uno /(uno +x)))
- raíz cuadrada de (x) multiplicar por (1 menos coseno de (1 dividir por (1 más x)))
- raíz cuadrada de (x) multiplicar por (uno menos coseno de (uno dividir por (uno más x)))
- √(x)*(1-cos(1/(1+x)))
- sqrt(x)(1-cos(1/(1+x)))
- sqrtx1-cos1/1+x
- sqrt(x)*(1-cos(1 dividir por (1+x)))
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x)*(1-cos(1/(1-x)))
- sqrt(x)*(1+cos(1/(1+x)))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- Coseno cos
- cos(3*x)*sin(x)*sin(2*x)/cot(4*x)
- cos(x^2*sin(7/x))
- cos(x+n/4)
- cos(x)/(x*(-pi+2*x)^2)
- cos(t^2)^x
Límite de la función sqrt(x)*(1-cos(1/(1+x)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ / / 1 \\\ lim |\/ x *|1 - cos|-----||| x->oo\ \ \1 + x///
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right)$$
Limit(sqrt(x)*(1 - cos(1/(1 + x))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 \sqrt{x}}{4 \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + x^{2} - 2 x \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 6 x \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 2 x - \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 3 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 3 \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 1\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 \sqrt{x}}{4 \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + x^{2} - 2 x \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 6 x \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 2 x - \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 3 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 3 \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 1\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 \sqrt{x}}{4 \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + x^{2} - 2 x \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 6 x \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 2 x - \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 3 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 3 \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 1\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 \sqrt{x}}{4 \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + x^{2} - 2 x \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 6 x \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 2 x - \cos^{3}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 3 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - 3 \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} + 1\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 1 - \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 1 - \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 1 - \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 1 - \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo