Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(2 - \cos{\left(2 x \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{- 5 x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{5 x} \log{\left(2 - \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{\log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{5 x} \log{\left(2 - \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{\log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 - \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} e^{- 5 x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{\left(2 - \cos{\left(2 x \right)}\right) \left(- 5 e^{- 5 x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + \frac{2 e^{- 5 x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{- 5 e^{- 5 x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + \frac{2 e^{- 5 x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{- 5 e^{- 5 x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + \frac{2 e^{- 5 x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}}\right)$$
=
$$\frac{2}{\log{\left(3 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)