Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to i \left(- \pi\right)^+}\left(\frac{\sinh{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to i \left(- \pi\right)^+} \left(x^{2} + \pi^{2}\right)^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to i \left(- \pi\right)^+}\left(\frac{\sinh{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} + \pi^{2}\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to i \left(- \pi\right)^+}\left(\frac{\sinh{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} + \pi^{2}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to i \left(- \pi\right)^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sinh{\left(x \right)}}{x}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + \pi^{2}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to i \left(- \pi\right)^+}\left(\frac{\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sinh{\left(x \right)}}{x^{2}}}{4 x \left(x^{2} + \pi^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to i \left(- \pi\right)^+}\left(\frac{\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sinh{\left(x \right)}}{x^{2}}}{- 4 i \pi x^{2} - 4 i \pi^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to i \left(- \pi\right)^+}\left(\frac{\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sinh{\left(x \right)}}{x^{2}}}{- 4 i \pi x^{2} - 4 i \pi^{3}}\right)$$
=
$$\infty i$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)