Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Gráfico de la función y =:
-
x-sqrt(1+x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- x-sqrt(uno +x^ dos -x)
- x menos raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado menos x)
- x menos raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos menos x)
- x-√(1+x^2-x)
- x-sqrt(1+x2-x)
- x-sqrt1+x2-x
- x-sqrt(1+x²-x)
- x-sqrt(1+x en el grado 2-x)
- x-sqrt1+x^2-x
-
Expresiones semejantes
- x-sqrt(1-x^2-x)
- x+sqrt(1+x^2-x)
- x-sqrt(1+x^2+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))-sqrt(x)
- sqrt(1+x^2)
- sqrt(n)*(sqrt(2+n)-sqrt(-3+n))
- sqrt(x+sqrt(x))-sqrt(x)
- sqrt(x)-1/(-1+x)
Límite de la función x-sqrt(1+x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________\
| / 2 |
lim \x - \/ 1 + x - x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit(x - sqrt(1 + x^2 - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) \left(x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u}{\sqrt{u^{2} - u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{1 - 0}{1 + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) \left(x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u}{\sqrt{u^{2} - u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{1 - 0}{1 + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ____________\
| / 2 |
lim \x - \/ 1 + x - x /
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
-1
$$-1$$
= -1.0
/ ____________\
| / 2 |
lim \x - \/ 1 + x - x /
x->0-
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
-1
$$-1$$
= -1.0
= -1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico