Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de x^2*log(x)
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos / dos +log(cos(x)))/x^ cuatro
- (x al cuadrado dividir por 2 más logaritmo de ( coseno de (x))) dividir por x en el grado 4
- (x en el grado dos dividir por dos más logaritmo de ( coseno de (x))) dividir por x en el grado cuatro
- (x2/2+log(cos(x)))/x4
- x2/2+logcosx/x4
- (x²/2+log(cos(x)))/x⁴
- (x en el grado 2/2+log(cos(x)))/x en el grado 4
- x^2/2+logcosx/x^4
- (x^2 dividir por 2+log(cos(x))) dividir por x^4
-
Expresiones semejantes
- (x^2/2-log(cos(x)))/x^4
- (x^2/2+log(cosx))/x^4
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x)/(1-x^2)
- log(sin(x))
- log(x)/x^2
- log(1-x)/x
- log(-2+x)
- Coseno cos
- cos(x)/x^2
- cos(3*x)*sin(2*x)/(cot(4*x)*sin(x))
- cos(pi*x)^(1/(x*sin(pi*x)))
- cos(5*x)
- cos(5*x)*sin(2*x)/tan(x)
Límite de la función (x^2/2+log(cos(x)))/x^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|x |
|-- + log(cos(x))|
|2 |
lim |----------------|
x->0+| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right)$$
Limit((x^2/2 + log(cos(x)))/x^4, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{4}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{2 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}}{8 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} 8 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{12 x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- 12 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{12 x}\right)$$
=
$$- \frac{1}{12}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{4}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{2 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}}{8 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} 8 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{12 x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- 12 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{12 x}\right)$$
=
$$- \frac{1}{12}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = - \frac{1}{12}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = - \frac{1}{12}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = - \frac{1}{12}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|x |
|-- + log(cos(x))|
|2 |
lim |----------------|
x->0+| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right)$$
-1/12
$$- \frac{1}{12}$$
= -0.0833333333333333
/ 2 \
|x |
|-- + log(cos(x))|
|2 |
lim |----------------|
x->0-| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{4}}\right)$$
-1/12
$$- \frac{1}{12}$$
= -0.0833333333333333
= -0.0833333333333333