Sr Examen

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Suma de la serie 1+cos(xn)/n!



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo               
____               
\   `              
 \    /       / n\\
  \   |    cos\x /|
  /   |1 + -------|
 /    \       n!  /
/___,              
n = 1              
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\cos{\left(x^{n} \right)}}{n!} + 1\right)$$
Sum(1 + cos(x^n)/factorial(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\cos{\left(x^{n} \right)}}{n!} + 1$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\cos{\left(x^{n} \right)}}{n!} + 1$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\frac{\cos{\left(x^{n} \right)}}{n!} + 1}{\frac{\cos{\left(x^{n + 1} \right)}}{\left(n + 1\right)!} + 1}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie