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Suma de la serie/ 1+cos(xn)/n!

Suma de la serie 1+cos(xn)/n!


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo               
____               
\   `              
 \    /       / n\\
  \   |    cos\x /|
  /   |1 + -------|
 /    \       n!  /
/___,              
n = 1
∑n=1∞(cos⁡(xn)n!+1)\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\cos{\left(x^{n} \right)}}{n!} + 1\right) 
Sum(1 + cos(x^n)/factorial(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
cos⁡(xn)n!+1\frac{\cos{\left(x^{n} \right)}}{n!} + 1
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=cos⁡(xn)n!+1a_{n} = \frac{\cos{\left(x^{n} \right)}}{n!} + 1
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞∣cos⁡(xn)n!+1cos⁡(xn+1)(n+1)!+1∣1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\frac{\cos{\left(x^{n} \right)}}{n!} + 1}{\frac{\cos{\left(x^{n + 1} \right)}}{\left(n + 1\right)!} + 1}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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