Sr Examen

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Suma de la serie arcsin(pi/(n^2+2))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
____              
\   `             
 \        /  pi  \
  \   asin|------|
  /       | 2    |
 /        \n  + 2/
/___,             
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{n^{2} + 2} \right)}$$
Sum(asin(pi/(n^2 + 2)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{n^{2} + 2} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{n^{2} + 2} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{n^{2} + 2} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{\left(n + 1\right)^{2} + 2} \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie