Sr Examen

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Suma de la serie ((x+3)^n)/(2^n*sqrt(n^4+4))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                 
_____                
\    `               
 \               n   
  \       (x + 3)    
   \   --------------
   /         ________
  /     n   /  4     
 /     2 *\/  n  + 4 
/____,               
n = 1                
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x + 3\right)^{n}}{2^{n} \sqrt{n^{4} + 4}}$$
Sum((x + 3)^n/((2^n*sqrt(n^4 + 4))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x + 3\right)^{n}}{2^{n} \sqrt{n^{4} + 4}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{2^{- n}}{\sqrt{n^{4} + 4}}$$
y
$$x_{0} = -3$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = -3 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{- n} 2^{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{4} + 4}}{\sqrt{n^{4} + 4}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = -1$$
$$R = -1$$
Respuesta [src]
  oo               
_____              
\    `             
 \      -n        n
  \    2  *(3 + x) 
   \   ------------
   /      ________ 
  /      /      4  
 /     \/  4 + n   
/____,             
n = 1              
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{- n} \left(x + 3\right)^{n}}{\sqrt{n^{4} + 4}}$$
Sum(2^(-n)*(3 + x)^n/sqrt(4 + n^4), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie