Derivada de x*sqrt(1+sin(x))+ln(1-x)

1. diferenciamos $x \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1} + \log{\left(1 - x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Como resultado de: $\cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}$

      Como resultado de: $\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}} + \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}$

   2. Sustituimos $u = 1 - x$.

   3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$:

      1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de: $-1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{1}{1 - x}$

   Como resultado de: $\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}} + \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1} - \frac{1}{1 - x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \left(x - 1\right) \cos{\left(x \right)} + \left(2 x - 2\right) \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) + 2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}{2 \left(x - 1\right) \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x - 1\right) \cos{\left(x \right)} + \left(2 x - 2\right) \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) + 2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}{2 \left(x - 1\right) \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}$