Sr Examen

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-14/9+x/3+(cos(x*sqrt(2))+sin(x*sqrt(2)))*exp(-x)
Trazado el gráfico de la función/ -14/9+x/3+(cos(x*sqrt(2))+sin(x*sqrt(2)))*exp(-x)

Gráfico de la función y = -14/9+x/3+(cos(x*sqrt(2))+sin(x*sqrt(2)))*exp(-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         14   x   /   /    ___\      /    ___\\  -x
f(x) = - -- + - + \cos\x*\/ 2 / + sin\x*\/ 2 //*e  
         9    3
f(x)=(x3−149)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−xf{\left(x \right)} = \left(\frac{x}{3} - \frac{14}{9}\right) + \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x} 
f = x/3 - 14/9 + (sin(sqrt(2)*x) + cos(sqrt(2)*x))*exp(-x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3−149)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−x=0\left(\frac{x}{3} - \frac{14}{9}\right) + \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−7.22113305371137x_{1} = -7.22113305371137
x2=−24.9912165272101x_{2} = -24.9912165272101
x3=−18.3268920778125x_{3} = -18.3268920778125
x4=−2.84943129422921x_{4} = -2.84943129422921
x5=−27.2126579962119x_{5} = -27.2126579962119
x6=−29.4340994653001x_{6} = -29.4340994653001
x7=−4.98726261406588x_{7} = -4.98726261406588
x8=4.63077236068785x_{8} = 4.63077236068785
x9=−9.44093953936527x_{9} = -9.44093953936527
x10=−31.6555409343783x_{10} = -31.6555409343783
x11=−13.8840062946497x_{11} = -13.8840062946497
x12=−16.1054510014314x_{12} = -16.1054510014314
x13=−11.6625911450357x_{13} = -11.6625911450357
x14=−20.5483335939883x_{14} = -20.5483335939883
x15=−22.7697750574709x_{15} = -22.7697750574709
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -14/9 + x/3 + (cos(x*sqrt(2)) + sin(x*sqrt(2)))*exp(-x).
(−149+03)+(sin⁡(02)+cos⁡(02))e−0\left(- \frac{14}{9} + \frac{0}{3}\right) + \left(\sin{\left(0 \sqrt{2} \right)} + \cos{\left(0 \sqrt{2} \right)}\right) e^{- 0}
Resultado:
f(0)=−59f{\left(0 \right)} = - \frac{5}{9}
Punto:
(0, -5/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2sin⁡(2x)+2cos⁡(2x))e−x−(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−x+13=0\left(- \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x} - \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x} + \frac{1}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−8.7656003728102x_{1} = -8.7656003728102
x2=−30.9800300755223x_{2} = -30.9800300755223
x3=0.24353483490486x_{3} = 0.24353483490486
x4=−6.54431231351914x_{4} = -6.54431231351914
x5=−28.7585886064432x_{5} = -28.7585886064432
x6=−10.9870584818653x_{6} = -10.9870584818653
x7=−2.11292357396046x_{7} = -2.11292357396046
x8=−24.3157056682874x_{8} = -24.3157056682874
x9=−15.4299398111172x_{9} = -15.4299398111172
x10=−22.0942641991812x_{10} = -22.0942641991812
x11=−26.5371471373637x_{11} = -26.5371471373637
x12=−17.6513812589704x_{12} = -17.6513812589704
x13=−4.32145452410639x_{13} = -4.32145452410639
x14=1.72610162612949x_{14} = 1.72610162612949
x15=−33.2014715446015x_{15} = -33.2014715446015
x16=−13.2084981463216x_{16} = -13.2084981463216
x17=−19.8728227303516x_{17} = -19.8728227303516
Signos de extremos en los puntos:
                                                            /                  ___\                      /                  ___\ 
(-8.765600372810196, -4.47742234649229 + 6409.9091254042*cos\8.7656003728102*\/ 2 / - 6409.9091254042*sin\8.7656003728102*\/ 2 /)

                                                              /                   ___\                       /                   ___\ 
(-30.980030075522315, -11.8822322473963 + 28474500275553.4*cos\30.9800300755223*\/ 2 / - 28474500275553.4*sin\30.9800300755223*\/ 2 /)

                                                               /                   ___\                        /                   ___\ 
(0.24353483490485953, -1.47437727725394 + 0.783852170140906*cos\0.24353483490486*\/ 2 / + 0.783852170140906*sin\0.24353483490486*\/ 2 /)

                                                             /                   ___\                       /                   ___\ 
(-6.544312313519143, -3.73699299339527 + 695.278380965881*cos\6.54431231351914*\/ 2 / - 695.278380965881*sin\6.54431231351914*\/ 2 /)

                                                             /                   ___\                       /                   ___\ 
(-28.75858860644317, -11.1417517577033 + 3088135437561.27*cos\28.7585886064432*\/ 2 / - 3088135437561.27*sin\28.7585886064432*\/ 2 /)

                                                            /                   ___\                       /                   ___\ 
(-10.987058481865342, -5.217908382844 + 59104.2718120232*cos\10.9870584818653*\/ 2 / - 59104.2718120232*sin\10.9870584818653*\/ 2 /)

                                                              /                   ___\                       /                   ___\ 
(-2.1129235739604595, -2.25986341354238 + 8.27239091247641*cos\2.11292357396046*\/ 2 / - 8.27239091247641*sin\2.11292357396046*\/ 2 /)

                                                              /                   ___\                       /                   ___\ 
(-24.315705668287418, -9.66079077831803 + 36322588894.9835*cos\24.3157056682874*\/ 2 / - 36322588894.9835*sin\24.3157056682874*\/ 2 /)

                                                              /                   ___\                       /                   ___\ 
(-15.429939811117228, -6.69886882592796 + 5025019.09105553*cos\15.4299398111172*\/ 2 / - 5025019.09105553*sin\15.4299398111172*\/ 2 /)

                                                             /                   ___\                       /                   ___\ 
(-22.09426419918116, -8.92031028861594 + 3939281562.87361*cos\22.0942641991812*\/ 2 / - 3939281562.87361*sin\22.0942641991812*\/ 2 /)

                                                              /                   ___\                       /                   ___\ 
(-26.537147137363664, -10.4012712680101 + 334916517881.998*cos\26.5371471373637*\/ 2 / - 334916517881.998*sin\26.5371471373637*\/ 2 /)

                                                            /                   ___\                       /                   ___\ 
(-17.65138125897044, -7.4393493085457 + 46333752.9550861*cos\17.6513812589704*\/ 2 / - 46333752.9550861*sin\17.6513812589704*\/ 2 /)

                                                             /                   ___\                       /                   ___\ 
(-4.321454524106388, -2.99604039692435 + 75.2980715390254*cos\4.32145452410639*\/ 2 / - 75.2980715390254*sin\4.32145452410639*\/ 2 /)

                                                               /                   ___\                        /                   ___\ 
(1.7261016261294884, -0.980188346845726 + 0.177976879757443*cos\1.72610162612949*\/ 2 / + 0.177976879757443*sin\1.72610162612949*\/ 2 /)

                                                             /                   ___\                        /                   ___\ 
(-33.2014715446015, -12.6227127370894 + 262552333709436*cos\33.2014715446015*\/ 2 / - 262552333709436*sin\33.2014715446015*\/ 2 /)

                                                             /                   ___\                       /                   ___\ 
(-13.20849814632156, -5.95838827099607 + 544976.605110661*cos\13.2084981463216*\/ 2 / - 544976.605110661*sin\13.2084981463216*\/ 2 /)

                                                            /                   ___\                      /                   ___\ 
(-19.872822730351636, -8.1798297990061 + 427225583.52754*cos\19.8728227303516*\/ 2 / - 427225583.52754*sin\19.8728227303516*\/ 2 /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−6.54431231351914x_{1} = -6.54431231351914
x2=−28.7585886064432x_{2} = -28.7585886064432
x3=−10.9870584818653x_{3} = -10.9870584818653
x4=−2.11292357396046x_{4} = -2.11292357396046
x5=−24.3157056682874x_{5} = -24.3157056682874
x6=−15.4299398111172x_{6} = -15.4299398111172
x7=1.72610162612949x_{7} = 1.72610162612949
x8=−33.2014715446015x_{8} = -33.2014715446015
x9=−19.8728227303516x_{9} = -19.8728227303516
Puntos máximos de la función:
x9=−8.7656003728102x_{9} = -8.7656003728102
x9=−30.9800300755223x_{9} = -30.9800300755223
x9=0.24353483490486x_{9} = 0.24353483490486
x9=−22.0942641991812x_{9} = -22.0942641991812
x9=−26.5371471373637x_{9} = -26.5371471373637
x9=−17.6513812589704x_{9} = -17.6513812589704
x9=−4.32145452410639x_{9} = -4.32145452410639
x9=−13.2084981463216x_{9} = -13.2084981463216
Decrece en los intervalos
[1.72610162612949,∞)\left[1.72610162612949, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−33.2014715446015]\left(-\infty, -33.2014715446015\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(22(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e−x=0\left(2 \sqrt{2} \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) - \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(3−2)x_{1} = - \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(3 - \sqrt{2} \right)}
x2=2atan⁡(27+37)x_{2} = \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{7} + \frac{3}{7} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(3−2)]∪[2atan⁡(27+37),∞)\left(-\infty, - \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(3 - \sqrt{2} \right)}\right] \cup \left[\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{7} + \frac{3}{7} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2atan⁡(3−2),2atan⁡(27+37)]\left[- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(3 - \sqrt{2} \right)}, \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{7} + \frac{3}{7} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞((x3−149)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−x)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x}{3} - \frac{14}{9}\right) + \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x}\right)
lim⁡x→∞((x3−149)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x}{3} - \frac{14}{9}\right) + \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -14/9 + x/3 + (cos(x*sqrt(2)) + sin(x*sqrt(2)))*exp(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((x3−149)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−xx)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{3} - \frac{14}{9}\right) + \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x}}{x}\right)
lim⁡x→∞((x3−149)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−xx)=13\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{3} - \frac{14}{9}\right) + \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = \frac{1}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x3y = \frac{x}{3}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3−149)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−x=−x3+(−sin⁡(2x)+cos⁡(2x))ex−149\left(\frac{x}{3} - \frac{14}{9}\right) + \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x} = - \frac{x}{3} + \left(- \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{x} - \frac{14}{9}
- No
(x3−149)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))e−x=x3−(−sin⁡(2x)+cos⁡(2x))ex+149\left(\frac{x}{3} - \frac{14}{9}\right) + \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x} = \frac{x}{3} - \left(- \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{x} + \frac{14}{9}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -14/9+x/3+(cos(x*sqrt(2))+sin(x*sqrt(2)))*exp(-x)
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