Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 2 \left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 96.2112750161874$$
$$x_{2} = 9.81747703236811$$
$$x_{3} = 22.3838476568273$$
$$x_{4} = 38.0918109247762$$
$$x_{5} = 8.24668094939388$$
$$x_{6} = 36.5210145979813$$
$$x_{7} = 69.5077374606742$$
$$x_{8} = 80.5033117482384$$
$$x_{9} = 47.5165888855456$$
$$x_{10} = 14.5298660228536$$
$$x_{11} = 50.6581815391354$$
$$x_{12} = 94.6404786893925$$
$$x_{13} = 39.6626072515711$$
$$x_{14} = 72.649330114264$$
$$x_{15} = 30.2378292908018$$
$$x_{16} = 17.6714586764426$$
$$x_{17} = 44.3749962319558$$
$$x_{18} = 74.2201264410589$$
$$x_{19} = 67.9369411338793$$
$$x_{20} = 16.1006623496477$$
$$x_{21} = 25.5254403104171$$
$$x_{22} = 58.5121631731099$$
$$x_{23} = 82.0741080750334$$
$$x_{24} = 66.3661448070844$$
$$x_{25} = 53.7997741927252$$
$$x_{26} = 23.9546439836222$$
$$x_{27} = 2.02312219899996$$
$$x_{28} = 83.6449044018282$$
$$x_{29} = 3.53137861010007$$
$$x_{30} = 97.7820713429823$$
$$x_{31} = 89.9280897090078$$
$$x_{32} = 61.6537558266997$$
$$x_{33} = 31.8086256175967$$
$$x_{34} = 75.7909227678538$$
$$x_{35} = 45.9457925587507$$
$$x_{36} = 28.6670329640069$$
$$x_{37} = 91.4988860358027$$
$$x_{38} = 52.2289778659303$$
$$x_{39} = 6.67587898035914$$
$$x_{40} = 88.3572933822129$$
$$x_{41} = 60.0829594999048$$
Signos de extremos en los puntos:
pi
--
2
(96.21127501618741, -1.41421356237309 + 5.40727332689264e-84*e )
pi
--
2
(9.817477032368114, 1.41421356237309 + 5.93851411308751e-9*e )
pi
--
2
(22.383847656827278, 1.4142135623731 + 7.22215746970667e-20*e )
pi
--
2
(38.09181092477624, 1.41421356237309 + 1.64022495450558e-33*e )
pi
--
2
(8.246680949393875, -1.41421356237294 + 1.37421262774078e-7*e )
pi
--
2
(36.52101459798135, -1.41421356237309 + 3.79559415208275e-32*e )
pi
--
2
(69.50773746067418, 1.4142135623731 + 8.46011639542855e-61*e )
pi
--
2
(80.50331174823845, -1.4142135623731 + 2.38090387183114e-70*e )
pi
--
2
(47.51658888554562, 1.4142135623731 + 1.06818208996232e-41*e )
pi
--
2
(14.529866022853609, -1.41421356237309 + 4.79235214329284e-13*e )
pi
--
2
(50.65818153913541, 1.4142135623731 + 1.99476888004079e-44*e )
pi
--
2
(94.64047868939252, 1.4142135623731 + 1.25128050039047e-82*e )
pi
--
2
(39.66260725157114, -1.4142135623731 + 7.08805471182034e-35*e )
pi
--
2
(72.64933011426398, 1.41421356237309 + 1.57987828720465e-63*e )
pi
--
2
(30.23782929080176, -1.4142135623731 + 1.08839160724354e-26*e )
pi
--
2
(17.671458676442587, -1.41421356237309 + 8.94944317779201e-16*e )
pi
--
2
(44.374996231955826, 1.4142135623731 + 5.72002595755828e-39*e )
pi
--
2
(74.22012644105887, -1.41421356237309 + 6.82727311699711e-65*e )
pi
--
2
(67.93694113387927, -1.4142135623731 + 1.95772953144152e-59*e )
pi
--
2
(16.100662349647656, 1.41421356237309 + 2.07096313811822e-14*e )
pi
--
2
(25.52544031041707, 1.41421356237309 + 1.34869654740543e-22*e )
pi
--
2
(58.5121631731099, -1.4142135623731 + 3.00615116263196e-51*e )
pi
--
2
(82.07410807503335, 1.41421356237309 + 1.02888185311208e-71*e )
pi
--
2
(66.36614480708438, 1.41421356237309 + 4.53032173452027e-58*e )
pi
--
2
(53.79977419272521, 1.41421356237309 + 3.72511664646944e-47*e )
pi
--
2
(23.954643983622173, -1.4142135623731 + 3.12097722583997e-21*e )
pi
--
2
(2.0231221989999573, -1.40416941423847 + 0.0349758583316791*e )
pi
--
2
(83.64490440182824, -1.41421356237309 + 4.44620163034644e-73*e )
pi
--
2
(3.5313786101000653, 1.41418955956451 + 0.00171282702999335*e )
pi
--
2
(97.78207134298232, 1.41421356237309 + 2.3366946757821e-85*e )
pi
--
2
(89.92808970900784, -1.41421356237309 + 1.55054272697524e-78*e )
pi
--
2
(61.653755826699694, -1.4142135623731 + 5.61381513907253e-54*e )
pi
--
2
(31.808625617596658, 1.41421356237309 + 4.70336659543979e-28*e )
pi
--
2
(75.79092276785376, 1.4142135623731 + 2.95033222442366e-66*e )
pi
--
2
(45.945792558750725, -1.41421356237309 + 2.47184734196578e-40*e )
pi
--
2
(28.667032964006864, 1.41421356237309 + 2.51861356473193e-25*e )
pi
--
2
(91.49888603580273, 1.41421356237309 + 6.70050266679953e-80*e )
pi
--
2
(52.22897786593031, -1.4142135623731 + 8.6201779337199e-46*e )
pi
--
2
(6.675878980359145, 1.41421356229036 + 3.18005908817298e-6*e )
pi
--
2
(88.35729338221293, 1.4142135623731 + 3.58806326589261e-77*e )
pi
--
2
(60.082959499904796, 1.41421356237309 + 1.29907570630521e-52*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 96.2112750161874$$
$$x_{2} = 8.24668094939388$$
$$x_{3} = 36.5210145979813$$
$$x_{4} = 80.5033117482384$$
$$x_{5} = 14.5298660228536$$
$$x_{6} = 39.6626072515711$$
$$x_{7} = 30.2378292908018$$
$$x_{8} = 17.6714586764426$$
$$x_{9} = 74.2201264410589$$
$$x_{10} = 67.9369411338793$$
$$x_{11} = 58.5121631731099$$
$$x_{12} = 23.9546439836222$$
$$x_{13} = 2.02312219899996$$
$$x_{14} = 83.6449044018282$$
$$x_{15} = 89.9280897090078$$
$$x_{16} = 61.6537558266997$$
$$x_{17} = 45.9457925587507$$
$$x_{18} = 52.2289778659303$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{18} = 9.81747703236811$$
$$x_{18} = 22.3838476568273$$
$$x_{18} = 38.0918109247762$$
$$x_{18} = 69.5077374606742$$
$$x_{18} = 47.5165888855456$$
$$x_{18} = 50.6581815391354$$
$$x_{18} = 94.6404786893925$$
$$x_{18} = 72.649330114264$$
$$x_{18} = 44.3749962319558$$
$$x_{18} = 16.1006623496477$$
$$x_{18} = 25.5254403104171$$
$$x_{18} = 82.0741080750334$$
$$x_{18} = 66.3661448070844$$
$$x_{18} = 53.7997741927252$$
$$x_{18} = 3.53137861010007$$
$$x_{18} = 97.7820713429823$$
$$x_{18} = 31.8086256175967$$
$$x_{18} = 75.7909227678538$$
$$x_{18} = 28.6670329640069$$
$$x_{18} = 91.4988860358027$$
$$x_{18} = 6.67587898035914$$
$$x_{18} = 88.3572933822129$$
$$x_{18} = 60.0829594999048$$
Decrece en los intervalos
$$\left[96.2112750161874, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.02312219899996\right]$$