Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = (2*exp(pi/2)+cos(2*x)*exp(2*x)+exp(2*x)*sin(2*x))*exp(-2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       /   pi                                \      
       |   --                                |      
       |   2              2*x    2*x         |  -2*x
f(x) = \2*e   + cos(2*x)*e    + e   *sin(2*x)/*e    
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x}$$
f = (exp(2*x)*cos(2*x) + 2*exp(pi/2) + exp(2*x)*sin(2*x))*exp(-2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 26.3108384738145$$
$$x_{2} = 4.32029123301605$$
$$x_{3} = 86.0010988920206$$
$$x_{4} = 40.4480054149686$$
$$x_{5} = 46.7311907221482$$
$$x_{6} = 92.2842841992002$$
$$x_{7} = 54.5851723561227$$
$$x_{8} = 1.3940664696018$$
$$x_{9} = 34.164820107789$$
$$x_{10} = 20.0276531666349$$
$$x_{11} = 70.2931356240716$$
$$x_{12} = 65.5807466436869$$
$$x_{13} = 90.7134878724053$$
$$x_{14} = 12.1736715325697$$
$$x_{15} = 68.7223392972767$$
$$x_{16} = 10.6028752079651$$
$$x_{17} = 84.4303025652257$$
$$x_{18} = 5.89046020684927$$
$$x_{19} = 48.3019870489431$$
$$x_{20} = 13.7444678594593$$
$$x_{21} = 76.5763209312512$$
$$x_{22} = 87.5718952188155$$
$$x_{23} = 21.5984494934298$$
$$x_{24} = 57.7267650097125$$
$$x_{25} = 71.8639319508665$$
$$x_{26} = 18.45685683984$$
$$x_{27} = 24.7400421470196$$
$$x_{28} = 42.0188017417635$$
$$x_{29} = 78.1471172580461$$
$$x_{30} = 35.7356164345839$$
$$x_{31} = 100.138265833175$$
$$x_{32} = 49.872783375738$$
$$x_{33} = 64.009950316892$$
$$x_{34} = 27.8816348006094$$
$$x_{35} = 43.5895980685584$$
$$x_{36} = 79.717913584841$$
$$x_{37} = 93.8550805259951$$
$$x_{38} = 62.4391539900971$$
$$x_{39} = 56.1559686829176$$
$$x_{40} = 32.5940237809941$$
$$x_{41} = 98.5674695063798$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*exp(pi/2) + cos(2*x)*exp(2*x) + exp(2*x)*sin(2*x))*exp(-2*x).
$$\left(e^{0 \cdot 2} \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \left(e^{0 \cdot 2} \cos{\left(0 \cdot 2 \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right)\right) e^{- 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1 + 2 e^{\frac{\pi}{2}}$$
Punto:
(0, 1 + 2*exp(pi/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 96.2112750161874$$
$$x_{2} = 9.81747703236811$$
$$x_{3} = 22.3838476568273$$
$$x_{4} = 38.0918109247762$$
$$x_{5} = 8.24668094939388$$
$$x_{6} = 36.5210145979813$$
$$x_{7} = 69.5077374606742$$
$$x_{8} = 80.5033117482384$$
$$x_{9} = 47.5165888855456$$
$$x_{10} = 14.5298660228536$$
$$x_{11} = 50.6581815391354$$
$$x_{12} = 94.6404786893925$$
$$x_{13} = 39.6626072515711$$
$$x_{14} = 72.649330114264$$
$$x_{15} = 30.2378292908018$$
$$x_{16} = 17.6714586764426$$
$$x_{17} = 44.3749962319558$$
$$x_{18} = 74.2201264410589$$
$$x_{19} = 67.9369411338793$$
$$x_{20} = 16.1006623496477$$
$$x_{21} = 25.5254403104171$$
$$x_{22} = 58.5121631731099$$
$$x_{23} = 82.0741080750334$$
$$x_{24} = 66.3661448070844$$
$$x_{25} = 53.7997741927252$$
$$x_{26} = 23.9546439836222$$
$$x_{27} = 2.02312219899996$$
$$x_{28} = 83.6449044018282$$
$$x_{29} = 3.53137861010007$$
$$x_{30} = 97.7820713429823$$
$$x_{31} = 89.9280897090078$$
$$x_{32} = 61.6537558266997$$
$$x_{33} = 31.8086256175967$$
$$x_{34} = 75.7909227678538$$
$$x_{35} = 45.9457925587507$$
$$x_{36} = 28.6670329640069$$
$$x_{37} = 91.4988860358027$$
$$x_{38} = 52.2289778659303$$
$$x_{39} = 6.67587898035914$$
$$x_{40} = 88.3572933822129$$
$$x_{41} = 60.0829594999048$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(96.21127501618741, -1.41421356237309 + 5.40727332689264e-84*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(9.817477032368114, 1.41421356237309 + 5.93851411308751e-9*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(22.383847656827278, 1.4142135623731 + 7.22215746970667e-20*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(38.09181092477624, 1.41421356237309 + 1.64022495450558e-33*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(8.246680949393875, -1.41421356237294 + 1.37421262774078e-7*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(36.52101459798135, -1.41421356237309 + 3.79559415208275e-32*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(69.50773746067418, 1.4142135623731 + 8.46011639542855e-61*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(80.50331174823845, -1.4142135623731 + 2.38090387183114e-70*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(47.51658888554562, 1.4142135623731 + 1.06818208996232e-41*e  )

                                                               pi 
                                                               -- 
                                                               2  
(14.529866022853609, -1.41421356237309 + 4.79235214329284e-13*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(50.65818153913541, 1.4142135623731 + 1.99476888004079e-44*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(94.64047868939252, 1.4142135623731 + 1.25128050039047e-82*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(39.66260725157114, -1.4142135623731 + 7.08805471182034e-35*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(72.64933011426398, 1.41421356237309 + 1.57987828720465e-63*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(30.23782929080176, -1.4142135623731 + 1.08839160724354e-26*e  )

                                                               pi 
                                                               -- 
                                                               2  
(17.671458676442587, -1.41421356237309 + 8.94944317779201e-16*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(44.374996231955826, 1.4142135623731 + 5.72002595755828e-39*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(74.22012644105887, -1.41421356237309 + 6.82727311699711e-65*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(67.93694113387927, -1.4142135623731 + 1.95772953144152e-59*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(16.100662349647656, 1.41421356237309 + 2.07096313811822e-14*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(25.52544031041707, 1.41421356237309 + 1.34869654740543e-22*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(58.5121631731099, -1.4142135623731 + 3.00615116263196e-51*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(82.07410807503335, 1.41421356237309 + 1.02888185311208e-71*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(66.36614480708438, 1.41421356237309 + 4.53032173452027e-58*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(53.79977419272521, 1.41421356237309 + 3.72511664646944e-47*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(23.954643983622173, -1.4142135623731 + 3.12097722583997e-21*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(2.0231221989999573, -1.40416941423847 + 0.0349758583316791*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(83.64490440182824, -1.41421356237309 + 4.44620163034644e-73*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(3.5313786101000653, 1.41418955956451 + 0.00171282702999335*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(97.78207134298232, 1.41421356237309 + 2.3366946757821e-85*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(89.92808970900784, -1.41421356237309 + 1.55054272697524e-78*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(61.653755826699694, -1.4142135623731 + 5.61381513907253e-54*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(31.808625617596658, 1.41421356237309 + 4.70336659543979e-28*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(75.79092276785376, 1.4142135623731 + 2.95033222442366e-66*e  )

                                                               pi 
                                                               -- 
                                                               2  
(45.945792558750725, -1.41421356237309 + 2.47184734196578e-40*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(28.667032964006864, 1.41421356237309 + 2.51861356473193e-25*e  )

                                                             pi 
                                                             -- 
                                                             2  
(91.49888603580273, 1.41421356237309 + 6.70050266679953e-80*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(52.22897786593031, -1.4142135623731 + 8.6201779337199e-46*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(6.675878980359145, 1.41421356229036 + 3.18005908817298e-6*e  )

                                                            pi 
                                                            -- 
                                                            2  
(88.35729338221293, 1.4142135623731 + 3.58806326589261e-77*e  )

                                                              pi 
                                                              -- 
                                                              2  
(60.082959499904796, 1.41421356237309 + 1.29907570630521e-52*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 96.2112750161874$$
$$x_{2} = 8.24668094939388$$
$$x_{3} = 36.5210145979813$$
$$x_{4} = 80.5033117482384$$
$$x_{5} = 14.5298660228536$$
$$x_{6} = 39.6626072515711$$
$$x_{7} = 30.2378292908018$$
$$x_{8} = 17.6714586764426$$
$$x_{9} = 74.2201264410589$$
$$x_{10} = 67.9369411338793$$
$$x_{11} = 58.5121631731099$$
$$x_{12} = 23.9546439836222$$
$$x_{13} = 2.02312219899996$$
$$x_{14} = 83.6449044018282$$
$$x_{15} = 89.9280897090078$$
$$x_{16} = 61.6537558266997$$
$$x_{17} = 45.9457925587507$$
$$x_{18} = 52.2289778659303$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{18} = 9.81747703236811$$
$$x_{18} = 22.3838476568273$$
$$x_{18} = 38.0918109247762$$
$$x_{18} = 69.5077374606742$$
$$x_{18} = 47.5165888855456$$
$$x_{18} = 50.6581815391354$$
$$x_{18} = 94.6404786893925$$
$$x_{18} = 72.649330114264$$
$$x_{18} = 44.3749962319558$$
$$x_{18} = 16.1006623496477$$
$$x_{18} = 25.5254403104171$$
$$x_{18} = 82.0741080750334$$
$$x_{18} = 66.3661448070844$$
$$x_{18} = 53.7997741927252$$
$$x_{18} = 3.53137861010007$$
$$x_{18} = 97.7820713429823$$
$$x_{18} = 31.8086256175967$$
$$x_{18} = 75.7909227678538$$
$$x_{18} = 28.6670329640069$$
$$x_{18} = 91.4988860358027$$
$$x_{18} = 6.67587898035914$$
$$x_{18} = 88.3572933822129$$
$$x_{18} = 60.0829594999048$$
Decrece en los intervalos
$$\left[96.2112750161874, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.02312219899996\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(\left(e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) e^{- 2 x} - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 21.5984494934298$$
$$x_{2} = 93.8550805259951$$
$$x_{3} = 54.5851723561227$$
$$x_{4} = 34.164820107789$$
$$x_{5} = 2.76245448537969$$
$$x_{6} = 18.45685683984$$
$$x_{7} = 62.4391539900971$$
$$x_{8} = 98.5674695063798$$
$$x_{9} = 46.7311907221482$$
$$x_{10} = 76.5763209312512$$
$$x_{11} = 90.7134878724053$$
$$x_{12} = 86.0010988920206$$
$$x_{13} = 20.0276531666349$$
$$x_{14} = 13.7444678594514$$
$$x_{15} = 43.5895980685584$$
$$x_{16} = 92.2842841992002$$
$$x_{17} = 84.4303025652257$$
$$x_{18} = 27.8816348006094$$
$$x_{19} = 70.2931356240716$$
$$x_{20} = 12.1736715327512$$
$$x_{21} = 5.89051224140486$$
$$x_{22} = 68.7223392972767$$
$$x_{23} = 57.7267650097125$$
$$x_{24} = 35.7356164345839$$
$$x_{25} = 26.3108384738145$$
$$x_{26} = 40.4480054149686$$
$$x_{27} = 48.3019870489431$$
$$x_{28} = 71.8639319508665$$
$$x_{29} = 79.717913584841$$
$$x_{30} = 49.872783375738$$
$$x_{31} = 24.7400421470196$$
$$x_{32} = 10.602875203766$$
$$x_{33} = 100.138265833175$$
$$x_{34} = 4.31908711445437$$
$$x_{35} = 65.5807466436869$$
$$x_{36} = 32.5940237809941$$
$$x_{37} = 42.0188017417635$$
$$x_{38} = 87.5718952188155$$
$$x_{39} = 64.009950316892$$
$$x_{40} = 56.1559686829176$$
$$x_{41} = 78.1471172580461$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[98.5674695063798, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.31908711445437\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*exp(pi/2) + cos(2*x)*exp(2*x) + exp(2*x)*sin(2*x))*exp(-2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x} = \left(2 e^{\frac{\pi}{2}} - e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{2 x}$$
- No
$$\left(\left(e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}\right) + e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{- 2 x} = - \left(2 e^{\frac{\pi}{2}} - e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar