Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2sinx-cosx

Gráfico de la función y = 2sinx-cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*sin(x) - cos(x)
f(x)=2sin⁡(x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = 2*sin(x) - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x)−cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=atan⁡(12)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Solución numérica
x1=−46.6602421948461x_{1} = -46.6602421948461
x2=53.8707227200273x_{2} = 53.8707227200273
x3=−24.6690936197175x_{3} = -24.6690936197175
x4=−238.297394063823x_{4} = -238.297394063823
x5=35.0211667984885x_{5} = 35.0211667984885
x6=72.7202786415661x_{6} = 72.7202786415661
x7=47.5875374128477x_{7} = 47.5875374128477
x8=−62.3682054627951x_{8} = -62.3682054627951
x9=−49.8018348484359x_{9} = -49.8018348484359
x10=−2.67794504458899x_{10} = -2.67794504458899
x11=−40.3770568876665x_{11} = -40.3770568876665
x12=−68.6513907699746x_{12} = -68.6513907699746
x13=−65.5097981163849x_{13} = -65.5097981163849
x14=28.7379814913089x_{14} = 28.7379814913089
x15=−71.7929834235644x_{15} = -71.7929834235644
x16=19.3132035305396x_{16} = 19.3132035305396
x17=−34.0938715804869x_{17} = -34.0938715804869
x18=41.3043521056681x_{18} = 41.3043521056681
x19=−43.5186495412563x_{19} = -43.5186495412563
x20=−8.96113035176857x_{20} = -8.96113035176857
x21=16.1716108769498x_{21} = 16.1716108769498
x22=44.4459447592579x_{22} = 44.4459447592579
x23=−90.6425393451032x_{23} = -90.6425393451032
x24=−18.385908312538x_{24} = -18.385908312538
x25=69.5786859879763x_{25} = 69.5786859879763
x26=−21.5275009661277x_{26} = -21.5275009661277
x27=6.74683291618039x_{27} = 6.74683291618039
x28=3.6052402625906x_{28} = 3.6052402625906
x29=−87.5009466915134x_{29} = -87.5009466915134
x30=79.0034639487456x_{30} = 79.0034639487456
x31=−27.8106862733073x_{31} = -27.8106862733073
x32=−93.784131998693x_{32} = -93.784131998693
x33=−15.2443156589482x_{33} = -15.2443156589482
x34=50.7291300664375x_{34} = 50.7291300664375
x35=57.0123153736171x_{35} = 57.0123153736171
x36=63.2955006807967x_{36} = 63.2955006807967
x37=−96.9257246522828x_{37} = -96.9257246522828
x38=−1271.88137709487x_{38} = -1271.88137709487
x39=60.1539080272069x_{39} = 60.1539080272069
x40=38.1627594520783x_{40} = 38.1627594520783
x41=100.994612523874x_{41} = 100.994612523874
x42=−30.9522789268971x_{42} = -30.9522789268971
x43=−59.2266128092053x_{43} = -59.2266128092053
x44=368.029988079007x_{44} = 368.029988079007
x45=9.88842556977019x_{45} = 9.88842556977019
x46=25.5963888377192x_{46} = 25.5963888377192
x47=85.2866492559252x_{47} = 85.2866492559252
x48=31.8795741448987x_{48} = 31.8795741448987
x49=13.03001822336x_{49} = 13.03001822336
x50=97.8530198702844x_{50} = 97.8530198702844
x51=−12.1027230053584x_{51} = -12.1027230053584
x52=−81.2177613843338x_{52} = -81.2177613843338
x53=4785.10925902626x_{53} = 4785.10925902626
x54=22.4547961841294x_{54} = 22.4547961841294
x55=0.463647609000806x_{55} = 0.463647609000806
x56=91.5698345631048x_{56} = 91.5698345631048
x57=−37.2354642340767x_{57} = -37.2354642340767
x58=−84.3593540379236x_{58} = -84.3593540379236
x59=−56.0850201556155x_{59} = -56.0850201556155
x60=−5.81953769817878x_{60} = -5.81953769817878
x61=82.1450566023354x_{61} = 82.1450566023354
x62=−100.067317305873x_{62} = -100.067317305873
x63=−78.076168730744x_{63} = -78.076168730744
x64=−52.9434275020257x_{64} = -52.9434275020257
x65=88.428241909515x_{65} = 88.428241909515
x66=66.4370933343865x_{66} = 66.4370933343865
x67=75.8618712951559x_{67} = 75.8618712951559
x68=94.7114272166946x_{68} = 94.7114272166946
x69=−74.9345760771542x_{69} = -74.9345760771542
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x) - cos(x).
−cos⁡(0)+2sin⁡(0)- \cos{\left(0 \right)} + 2 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)+2cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(2)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
              ___ 
(-atan(2), -\/ 5 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−atan⁡(2)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−atan⁡(2),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(2)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(12)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,atan⁡(12)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[atan⁡(12),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x) - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x)−cos⁡(x)=−2sin⁡(x)−cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
2sin⁡(x)−cos⁡(x)=2sin⁡(x)+cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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