Sr Examen

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sin(x/5)>1/2 desigualdades

Ha introducido [src]

   /x\      
sin|-| > 1/2
   \5/

\sin{\left(\frac{x}{5} \right)} > \frac{1}{2}

sin(x/5) > 1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\sin{\left(\frac{x}{5} \right)} > \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\sin{\left(\frac{x}{5} \right)} = \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\sin{\left(\frac{x}{5} \right)} = \frac{1}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

\frac{x}{5} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}

\frac{x}{5} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi

\frac{x}{5} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}

\frac{x}{5} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}

, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en

\frac{1}{5}

x_{1} = 10 \pi n + \frac{5 \pi}{6}

x_{2} = 10 \pi n + \frac{25 \pi}{6}

x_{1} = 10 \pi n + \frac{5 \pi}{6}

x_{2} = 10 \pi n + \frac{25 \pi}{6}

Las raíces dadas

x_{1} = 10 \pi n + \frac{5 \pi}{6}

x_{2} = 10 \pi n + \frac{25 \pi}{6}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\left(10 \pi n + \frac{5 \pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}

10 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{5 \pi}{6}

lo sustituimos en la expresión

\sin{\left(\frac{x}{5} \right)} > \frac{1}{2}

\sin{\left(\frac{10 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{5 \pi}{6}}{5} \right)} > \frac{1}{2}

   /  1    pi         \      
sin|- -- + -- + 2*pi*n| > 1/2
   \  50   6          /

Entonces

x < 10 \pi n + \frac{5 \pi}{6}

no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x > 10 \pi n + \frac{5 \pi}{6} \wedge x < 10 \pi n + \frac{25 \pi}{6}

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

   /5*pi          25*pi\
And|---- < x, x < -----|
   \ 6              6  /

\frac{5 \pi}{6} < x \wedge x < \frac{25 \pi}{6}

(5*pi/6 < x)∧(x < 25*pi/6)

Respuesta rápida 2 [src]

 5*pi  25*pi 
(----, -----)
  6      6

x\ in\ \left(\frac{5 \pi}{6}, \frac{25 \pi}{6}\right)

x in Interval.open(5*pi/6, 25*pi/6)