cos(x)<=-1/(sqrt(2)) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{3 \pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4} \right)} \leq - \frac{1}{\sqrt{2}}$$

                             ___ 
    /  1    pi       \    -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| <= -------
    \  10   4        /       2   
                          

pero

                             ___ 
    /  1    pi       \    -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| >= -------
    \  10   4        /       2   
                          

Entonces
$$x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \pi n + \frac{3 \pi}{4} \wedge x \leq \pi n - \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2