Sr Examen

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cos(t)<1/2 desigualdades

Ha introducido [src]

cos(t) < 1/2

\cos{\left(t \right)} < \frac{1}{2}

cos(t) < 1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\cos{\left(t \right)} < \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\cos{\left(t \right)} = \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\cos{\left(t \right)} = \frac{1}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

t = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}

t = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}

t = \pi n + \frac{\pi}{3}

t = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

, donde n es cualquier número entero

t_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}

t_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

t_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}

t_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

Las raíces dadas

t_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}

t_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

t_{0} < t_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

t_{0} = t_{1} - \frac{1}{10}

\left(\pi n + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}

\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}

lo sustituimos en la expresión

\cos{\left(t \right)} < \frac{1}{2}

\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)} < \frac{1}{2}

   /  1    pi       \      
cos|- -- + -- + pi*n| < 1/2
   \  10   3        /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

t < \pi n + \frac{\pi}{3}

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       t1      t2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:

t < \pi n + \frac{\pi}{3}

t > \pi n - \frac{2 \pi}{3}

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

   /pi          5*pi\
And|-- < t, t < ----|
   \3            3  /

\frac{\pi}{3} < t \wedge t < \frac{5 \pi}{3}

(pi/3 < t)∧(t < 5*pi/3)

Respuesta rápida 2 [src]

 pi  5*pi 
(--, ----)
 3    3

t\ in\ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right)

t in Interval.open(pi/3, 5*pi/3)