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Resolver desigualdades/ sin(x)(cos(x)+1/2)≤0

sin(x)(cos(x)+1/2)≤0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
sin(x)*(cos(x) + 1/2) <= 0
(cos⁡(x)+12)sin⁡(x)≤0\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \sin{\left(x \right)} \leq 0 
(cos(x) + 1/2)*sin(x) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(cos⁡(x)+12)sin⁡(x)≤0\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \sin{\left(x \right)} \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(cos⁡(x)+12)sin⁡(x)=0\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvemos:
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=2π3x_{3} = \frac{2 \pi}{3}
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=2π3x_{3} = \frac{2 \pi}{3}
Las raíces dadas
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x1=0x_{1} = 0
x3=2π3x_{3} = \frac{2 \pi}{3}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x2x_{0} \leq x_{2}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x2−110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
=
−2π3−110- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}
=
−2π3−110- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
(cos⁡(x)+12)sin⁡(x)≤0\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \sin{\left(x \right)} \leq 0
(cos⁡(−2π3−110)+12)sin⁡(−2π3−110)≤0\left(\cos{\left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} + \frac{1}{2}\right) \sin{\left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} \leq 0
 /1      /1    pi\\    /1    pi\     
-|- - sin|-- + --||*cos|-- + --| <= 0
 \2      \10   6 //    \10   6 /

pero
 /1      /1    pi\\    /1    pi\     
-|- - sin|-- + --||*cos|-- + --| >= 0
 \2      \10   6 //    \10   6 /

Entonces
x≤−2π3x \leq - \frac{2 \pi}{3}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥−2π3∧x≤0x \geq - \frac{2 \pi}{3} \wedge x \leq 0
         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≥−2π3∧x≤0x \geq - \frac{2 \pi}{3} \wedge x \leq 0
x≥2π3x \geq \frac{2 \pi}{3}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060802-2
Respuesta rápida 2 [src] 
       2*pi         4*pi       
{0} U [----, pi] U [----, 2*pi]
        3            3
x in {0}∪[2π3,π]∪[4π3,2π]x\ in\ \left\{0\right\} \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \pi\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, 2 \pi\right] 
x in Union(FiniteSet(0), Interval(2*pi/3, pi), Interval(4*pi/3, 2*pi))
Respuesta rápida [src] 
  /   /4*pi                \     /2*pi              \       \
Or|And|---- <= x, x <= 2*pi|, And|---- <= x, x <= pi|, x = 0|
  \   \ 3                  /     \ 3                /       /
(4π3≤x∧x≤2π)∨(2π3≤x∧x≤π)∨x=0\left(\frac{4 \pi}{3} \leq x \wedge x \leq 2 \pi\right) \vee \left(\frac{2 \pi}{3} \leq x \wedge x \leq \pi\right) \vee x = 0 
(x = 0))∨((x <= pi)∧(2*pi/3 <= x))∨((4*pi/3 <= x)∧(x <= 2*pi)
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