cos((x+pi)/4)<=(-sqrt(2))/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{4}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$\frac{x}{4} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$\frac{x}{4} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{2} = 4 \pi n - 2 \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{2} = 4 \pi n - 2 \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{2} = 4 \pi n - 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n + 2 \pi\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10} + 2 \pi$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\frac{x + \pi}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
$$\cos{\left(\frac{\left(4 \pi n - \frac{1}{10} + 2 \pi\right) + \pi}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$

                             ___ 
    /  1    pi       \    -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| <= -------
    \  40   4        /       2   
                          

pero

                             ___ 
    /  1    pi       \    -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| >= -------
    \  40   4        /       2   
                          

Entonces
$$x \leq 4 \pi n + 2 \pi$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 4 \pi n + 2 \pi \wedge x \leq 4 \pi n - 2 \pi$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2