Integral de 4exp(2x)/sqrt(1-exp(2x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{\sqrt{1 - u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{1 - u}}\, du = 2 \int \frac{1}{\sqrt{1 - u}}\, du$

         1. que $u = 1 - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{1 - u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sqrt{1 - u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \sqrt{1 - e^{2 x}}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 e^{u}}{\sqrt{1 - e^{u}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{u}}{\sqrt{1 - e^{u}}}\, du = 2 \int \frac{e^{u}}{\sqrt{1 - e^{u}}}\, du$

         1. que $u = 1 - e^{u}$.

            Luego que $du = - e^{u} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{1 - e^{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sqrt{1 - e^{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \sqrt{1 - e^{2 x}}$

   Método #3

   1. que $u = \sqrt{1 - e^{2 x}}$.

      Luego que $du = - \frac{e^{2 x} dx}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ y ponemos $- 4 du$:

      $\int \left(-4\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \sqrt{1 - e^{2 x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 4 \sqrt{1 - e^{2 x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 4 \sqrt{1 - e^{2 x}}+ \mathrm{constant}$