Integral de exp(x)(sin(x)+cos(x)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando $e^{x} \sin{\left(x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$.

      2. Para el integrando $e^{x} \cos{\left(x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

         $2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto,

         $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

   1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando $e^{x} \cos{\left(x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$.

      2. Para el integrando $- e^{x} \sin{\left(x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

         $2 \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto,

         $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

   El resultado es: $e^{x} \sin{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$