Integral de (1+exp(3x))^1/2*exp(3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{3 x} + 1$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(e^{3 x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

   Método #2

   1. que $u = e^{3 x}$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{u + 1}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u + 1}\, du = \frac{\int \sqrt{u + 1}\, du}{3}$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(e^{3 x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

   Método #3

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{e^{u} + 1} e^{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{e^{u} + 1} e^{u}\, du = \frac{\int \sqrt{e^{u} + 1} e^{u}\, du}{3}$

         1. que $u = e^{u} + 1$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(e^{u} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(e^{u} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(e^{3 x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(e^{3 x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(e^{3 x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$