Integral de (x^1/2+xe^x)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u e^{u^{2}} + 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u e^{u^{2}}\, du = 2 \int u e^{u^{2}}\, du$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{u^{2}}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $e^{u^{2}}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         El resultado es: $2 u + e^{u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} + e^{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} x + \sqrt{x}}{x} = e^{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $2 \sqrt{x} + e^{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} + e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} + e^{x}+ \mathrm{constant}$