Integral de e^-sqrt(1+3x)dx dx

1. que $u = - \sqrt{3 x + 1}$.

   Luego que $du = - \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

   $\int \frac{2 u e^{u}}{3}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u e^{u}\, du = \frac{2 \int u e^{u}\, du}{3}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u e^{u}}{3} - \frac{2 e^{u}}{3}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{2 \sqrt{3 x + 1} e^{- \sqrt{3 x + 1}}}{3} - \frac{2 e^{- \sqrt{3 x + 1}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(2 \sqrt{3 x + 1} + 2\right) e^{- \sqrt{3 x + 1}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(2 \sqrt{3 x + 1} + 2\right) e^{- \sqrt{3 x + 1}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(2 \sqrt{3 x + 1} + 2\right) e^{- \sqrt{3 x + 1}}}{3}+ \mathrm{constant}$