Integral de (-4cosx*cosx-(-4cosx*sinx))*4 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 4 \left(- \sin{\left(x \right)} \left(- 4 \cos{\left(x \right)}\right) + - 4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = 4 \int \left(- \sin{\left(x \right)} \left(- 4 \cos{\left(x \right)}\right) + - 4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \left(- 4 \cos{\left(x \right)}\right)\right)\, dx = - \int \left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Método #2

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos^{2}{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- 2 x \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 x \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- 2 x \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 x \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 8 x \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 x \cos^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 8 x - 4 \sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 4$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 8 x - 4 \sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 4+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 8 x - 4 \sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 4+ \mathrm{constant}$