Integral de (2-tg(x)*tg(x))/(cos(x)*cos(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- \tan{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 2}{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} = - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} - 2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} - 2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} - 2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} - 2}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      2. Integramos término a término:

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         El resultado es: $- \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- \tan{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 2}{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} = - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $\frac{7 \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{7 \tan{\left(x \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{7 \tan{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{7 \tan{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$