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Resolución de integrales/ -cosx/ x+sinx/ sinx^5/ ((sinx-cosx)/cosx+sinx^5)

Integral de ((sinx-cosx)/cosx+sinx^5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                               
  /                               
 |                                
 |  /sin(x) - cos(x)      5   \   
 |  |--------------- + sin (x)| dx
 |  \     cos(x)              /   
 |                                
/                                 
0
∫01(sin⁡(x)−cos⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡5(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \sin^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((sin(x) - cos(x))/cos(x) + sin(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡(x)−cos⁡(x)cos⁡(x)=−−sin⁡(x)+cos⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−−sin⁡(x)+cos⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫−sin⁡(x)+cos⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          −sin⁡(x)+cos⁡(x)cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)+1\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(cos⁡(x))\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          El resultado es: x+log⁡(cos⁡(x))x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −x−log⁡(cos⁡(x))- x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡(x)−cos⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−1\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1

      2. Integramos término a término:

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

        El resultado es: −x−log⁡(cos⁡(x))- x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡5(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)\sin^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡4(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

    3. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡3(x)3\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

    El resultado es: −x−log⁡(cos⁡(x))−cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)- x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x−log⁡(cos⁡(x))−cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)+constant- x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x−log⁡(cos⁡(x))−cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)+constant- x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                   
 |                                                                    5           3   
 | /sin(x) - cos(x)      5   \                                     cos (x)   2*cos (x)
 | |--------------- + sin (x)| dx = C - x - cos(x) - log(cos(x)) - ------- + ---------
 | \     cos(x)              /                                        5          3    
 |                                                                                    
/
∫(sin⁡(x)−cos⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡5(x)) dx=C−x−log⁡(cos⁡(x))−cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\int \left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \sin^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = C - x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                 5           3   
  7                           cos (1)   2*cos (1)
- -- - cos(1) - log(cos(1)) - ------- + ---------
  15                             5          3
−cos⁡(1)−715−cos⁡5(1)5+2cos⁡3(1)3−log⁡(cos⁡(1))- \cos{\left(1 \right)} - \frac{7}{15} - \frac{\cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
=
= 
                                 5           3   
  7                           cos (1)   2*cos (1)
- -- - cos(1) - log(cos(1)) - ------- + ---------
  15                             5          3
−cos⁡(1)−715−cos⁡5(1)5+2cos⁡3(1)3−log⁡(cos⁡(1))- \cos{\left(1 \right)} - \frac{7}{15} - \frac{\cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
-7/15 - cos(1) - log(cos(1)) - cos(1)^5/5 + 2*cos(1)^3/3
Respuesta numérica [src] 
-0.29539913316241
-0.29539913316241

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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