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Resolución de integrales/ 2*x^2/ 1/2*x/ cos(x)/ sin(x)/ 1/2*x^2*(sin(x)+cos(x))

Integral de 1/2*x^2*(sin(x)+cos(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                        
 --                        
 2                         
  /                        
 |                         
 |   2                     
 |  x                      
 |  --*(sin(x) + cos(x)) dx
 |  2                      
 |                         
/                          
0
∫0π2x22(sin⁡(x)+cos⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{2} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((x^2/2)*(sin(x) + cos(x)), (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x22(sin⁡(x)+cos⁡(x))=x2sin⁡(x)2+x2cos⁡(x)2\frac{x^{2}}{2} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2sin⁡(x)2 dx=∫x2sin⁡(x) dx2\int \frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2cos⁡(x)2+xsin⁡(x)+cos⁡(x)- \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{2} + x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2cos⁡(x)2 dx=∫x2cos⁡(x) dx2\int \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=2xu{\left(x \right)} = 2 x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x2sin⁡(x)2+xcos⁡(x)−sin⁡(x)\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{2} + x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: x2sin⁡(x)2−x2cos⁡(x)2+xsin⁡(x)+xcos⁡(x)−sin⁡(x)+cos⁡(x)\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{2} + x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x22u{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)+cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=x\operatorname{du}{\left(x \right)} = x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        El resultado es: sin⁡(x)−cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x(sin⁡(x)−cos⁡(x))=xsin⁡(x)−xcos⁡(x)x \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = x \sin{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)}

    3. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡(x)) dx=−∫xcos⁡(x) dx\int \left(- x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(x)−cos⁡(x)- x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −xsin⁡(x)−xcos⁡(x)+sin⁡(x)−cos⁡(x)- x \sin{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    2(−x2cos⁡(x+π4)2+xsin⁡(x+π4)+cos⁡(x+π4))\sqrt{2} \left(- \frac{x^{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(−x2cos⁡(x+π4)2+xsin⁡(x+π4)+cos⁡(x+π4))+constant\sqrt{2} \left(- \frac{x^{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(−x2cos⁡(x+π4)2+xsin⁡(x+π4)+cos⁡(x+π4))+constant\sqrt{2} \left(- \frac{x^{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                           
 |                                                                                            
 |  2                                                            2           2                
 | x                                                            x *sin(x)   x *cos(x)         
 | --*(sin(x) + cos(x)) dx = C - sin(x) + x*cos(x) + x*sin(x) + --------- - --------- + cos(x)
 | 2                                                                2           2             
 |                                                                                            
/
∫x22(sin⁡(x)+cos⁡(x)) dx=C+x2sin⁡(x)2−x2cos⁡(x)2+xsin⁡(x)+xcos⁡(x)−sin⁡(x)+cos⁡(x)\int \frac{x^{2}}{2} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{2} + x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.502
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            2
     pi   pi 
-2 + -- + ---
     2     8
−2+π28+π2-2 + \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\pi}{2} 
=
= 
            2
     pi   pi 
-2 + -- + ---
     2     8
−2+π28+π2-2 + \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\pi}{2} 
-2 + pi/2 + pi^2/8
Respuesta numérica [src] 
0.804496876931066
0.804496876931066

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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