Integral de dx/sqrt(x-3)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{x - 3}\right)^{5}} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{x - 3} - 6 x \sqrt{x - 3} + 9 \sqrt{x - 3}}$

   2. que $u = \sqrt{x - 3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 3}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{- 6 u^{2} + \left(u^{2} + 3\right)^{2} - 9}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{- 6 u^{2} + \left(u^{2} + 3\right)^{2} - 9}\, du = 2 \int \frac{1}{- 6 u^{2} + \left(u^{2} + 3\right)^{2} - 9}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{- 6 u^{2} + \left(u^{2} + 3\right)^{2} - 9} = \frac{1}{u^{4}}$

         2. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{x - 3}\right)^{5}} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{x - 3} - 6 x \sqrt{x - 3} + 9 \sqrt{x - 3}}$

   2. que $u = \sqrt{x - 3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 3}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{- 6 u^{2} + \left(u^{2} + 3\right)^{2} - 9}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{- 6 u^{2} + \left(u^{2} + 3\right)^{2} - 9}\, du = 2 \int \frac{1}{- 6 u^{2} + \left(u^{2} + 3\right)^{2} - 9}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{- 6 u^{2} + \left(u^{2} + 3\right)^{2} - 9} = \frac{1}{u^{4}}$

         2. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$