Integral de ln(lnx)÷x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u e^{u}\, du = - \int u e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\frac{1}{u} \right)} \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$