Integral de (ln^2(x))/sqrt(x) dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int u^{2} e^{\frac{u}{2}}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. que $u = \frac{u}{2}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 e^{u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 e^{\frac{u}{2}}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 4 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 4$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. que $u = \frac{u}{2}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 e^{u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 e^{\frac{u}{2}}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8 e^{\frac{u}{2}}\, du = 8 \int e^{\frac{u}{2}}\, du$

      1. que $u = \frac{u}{2}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 e^{u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 e^{\frac{u}{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $16 e^{\frac{u}{2}}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)}^{2} - 8 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} + 16 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 8\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 8\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 8\right)+ \mathrm{constant}$