Sr Examen

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Integral de 192((sin(t))^4(cos(t))^2) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 pi                       
 --                       
 3                        
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 |  192*sin (t)*cos (t) dt
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0                         
0π3192sin4(t)cos2(t)dt\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} 192 \sin^{4}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt
Integral(192*(sin(t)^4*cos(t)^2), (t, 0, pi/3))
Solución detallada
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    192sin4(t)cos2(t)dt=192sin4(t)cos2(t)dt\int 192 \sin^{4}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = 192 \int \sin^{4}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin4(t)cos2(t)=(12cos(2t)2)2(cos(2t)2+12)\sin^{4}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=2tu = 2 t.

        Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos dudu:

        (cos3(u)16cos2(u)16cos(u)16+116)du\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos3(u)16du=cos3(u)du16\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos3(u)=(1sin2(u))cos(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

            2. que u=sin(u)u = \sin{\left(u \right)}.

              Luego que du=cos(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

              (1u2)du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

              1. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  1du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  (u2)du=u2du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

                El resultado es: u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin3(u)3+sin(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin3(u)48+sin(u)16- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (cos2(u)16)du=cos2(u)du16\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(u)=cos(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(2u)2du=cos(2u)du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              El resultado es: u2+sin(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: u32sin(2u)64- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (cos(u)16)du=cos(u)du16\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

            1. La integral del coseno es seno:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(u)16- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            116du=u16\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}

          El resultado es: u32sin(2u)64sin3(u)48\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}

        Si ahora sustituir uu más en:

        t16sin3(2t)48sin(4t)64\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (12cos(2t)2)2(cos(2t)2+12)=cos3(2t)8cos2(2t)8cos(2t)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos3(2t)8dt=cos3(2t)dt8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos3(2t)=(1sin2(2t))cos(2t)\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}

          2. que u=sin(2t)u = \sin{\left(2 t \right)}.

            Luego que du=2cos(2t)dtdu = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt y ponemos dudu:

            (12u22)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                (u22)du=u2du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: u36- \frac{u^{3}}{6}

              El resultado es: u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin3(2t)6+sin(2t)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin3(2t)48+sin(2t)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (cos2(2t)8)dt=cos2(2t)dt8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos2(2t)=cos(4t)2+12\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(4t)2dt=cos(4t)dt2\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}

              1. que u=4tu = 4 t.

                Luego que du=4dtdu = 4 dt y ponemos du4\frac{du}{4}:

                cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin(4t)4\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(4t)8\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              12dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

            El resultado es: t2+sin(4t)8\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: t16sin(4t)64- \frac{t}{16} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (cos(2t)8)dt=cos(2t)dt8\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

          1. que u=2tu = 2 t.

            Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

            cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(2t)16- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          18dt=t8\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}

        El resultado es: t16sin3(2t)48sin(4t)64\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (12cos(2t)2)2(cos(2t)2+12)=cos3(2t)8cos2(2t)8cos(2t)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos3(2t)8dt=cos3(2t)dt8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos3(2t)=(1sin2(2t))cos(2t)\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}

          2. que u=sin(2t)u = \sin{\left(2 t \right)}.

            Luego que du=2cos(2t)dtdu = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt y ponemos dudu:

            (12u22)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                (u22)du=u2du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: u36- \frac{u^{3}}{6}

              El resultado es: u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin3(2t)6+sin(2t)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin3(2t)48+sin(2t)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (cos2(2t)8)dt=cos2(2t)dt8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos2(2t)=cos(4t)2+12\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(4t)2dt=cos(4t)dt2\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}

              1. que u=4tu = 4 t.

                Luego que du=4dtdu = 4 dt y ponemos du4\frac{du}{4}:

                cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin(4t)4\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(4t)8\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              12dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

            El resultado es: t2+sin(4t)8\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: t16sin(4t)64- \frac{t}{16} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (cos(2t)8)dt=cos(2t)dt8\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

          1. que u=2tu = 2 t.

            Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

            cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(2t)16- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          18dt=t8\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}

        El resultado es: t16sin3(2t)48sin(4t)64\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

    Por lo tanto, el resultado es: 12t4sin3(2t)3sin(4t)12 t - 4 \sin^{3}{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(4 t \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    12t4sin3(2t)3sin(4t)+constant12 t - 4 \sin^{3}{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(4 t \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

12t4sin3(2t)3sin(4t)+constant12 t - 4 \sin^{3}{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(4 t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                            
 |                                                             
 |        4       2                  3                         
 | 192*sin (t)*cos (t) dt = C - 4*sin (2*t) - 3*sin(4*t) + 12*t
 |                                                             
/                                                              
192sin4(t)cos2(t)dt=C+12t4sin3(2t)3sin(4t)\int 192 \sin^{4}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = C + 12 t - 4 \sin^{3}{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(4 t \right)}
Gráfica
0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00050
Respuesta [src]
4*pi
4π4 \pi
=
=
4*pi
4π4 \pi
4*pi
Respuesta numérica [src]
12.5663706143592
12.5663706143592

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.