Integral de 192((sin(t))^4(cos(t))^2) dt

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 192 \sin^{4}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = 192 \int \sin^{4}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{4}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 t$.

         Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $du$:

         $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$

            El resultado es: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}$

            2. que $u = \sin{\left(2 t \right)}$.

               Luego que $du = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}$

                  1. que $u = 4 t$.

                     Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

               El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t}{16} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$

            1. que $u = 2 t$.

               Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}$

         El resultado es: $\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}$

            2. que $u = \sin{\left(2 t \right)}$.

               Luego que $du = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}$

                  1. que $u = 4 t$.

                     Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

               El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t}{16} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$

            1. que $u = 2 t$.

               Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}$

         El resultado es: $\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}$

   Por lo tanto, el resultado es: $12 t - 4 \sin^{3}{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(4 t \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $12 t - 4 \sin^{3}{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(4 t \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$12 t - 4 \sin^{3}{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(4 t \right)}+ \mathrm{constant}$