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Resolución de integrales/ sint^2/ cost^2/ sint^2-cost^2

Integral de sint^2-cost^2 dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                       
 --                       
 2                        
  /                       
 |                        
 |  /   2         2   \   
 |  \sin (t) - cos (t)/ dt
 |                        
/                         
0
∫0π2(sin⁡2(t)−cos⁡2(t)) dt\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt 
Integral(sin(t)^2 - cos(t)^2, (t, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(t)=12−cos⁡(2t)2\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2t)2) dt=−∫cos⁡(2t) dt2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

        1. que u=2tu = 2 t.

          Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2t)4- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

      El resultado es: t2−sin⁡(2t)4\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡2(t)) dt=−∫cos⁡2(t) dt\int \left(- \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(t)=cos⁡(2t)2+12\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2t)2 dt=∫cos⁡(2t) dt2\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

          1. que u=2tu = 2 t.

            Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2t)4\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

        El resultado es: t2+sin⁡(2t)4\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −t2−sin⁡(2t)4- \frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

    El resultado es: −sin⁡(2t)2- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −sin⁡(2t)2+constant- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−sin⁡(2t)2+constant- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     
 |                                      
 | /   2         2   \          sin(2*t)
 | \sin (t) - cos (t)/ dt = C - --------
 |                                 2    
/
∫(sin⁡2(t)−cos⁡2(t)) dt=C−sin⁡(2t)2\int \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = C - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.52-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
-6.12323532871828e-17
-6.12323532871828e-17

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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