Integral de 4/pi*(x(4-x))*sin(pi*x/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- \frac{du}{\pi}$:

      $\int \left(- \frac{4 u^{2} \sin{\left(\frac{\pi u}{4} \right)} + 16 u \sin{\left(\frac{\pi u}{4} \right)}}{\pi}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(4 u^{2} \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)} + 16 u \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}\right)\, du = - \frac{\int \left(4 u^{2} \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)} + 16 u \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}\right)\, du}{\pi}$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 u^{2} \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}\, du = 4 \int u^{2} \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = \frac{u \pi}{4}$.

                     Luego que $du = \frac{\pi du}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                     $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                        1. La integral del seno es un coseno menos:

                           $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{4 \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = - \frac{8 u}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{8}{\pi}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = \frac{u \pi}{4}$.

                     Luego que $du = \frac{\pi du}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                     $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{4 \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{32 \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{2}}\right)\, du = - \frac{32 \int \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}\, du}{\pi^{2}}$

                  1. que $u = \frac{u \pi}{4}$.

                     Luego que $du = \frac{\pi du}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                     $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                        1. La integral del seno es un coseno menos:

                           $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{4 \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 u^{2} \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi} + \frac{128 u \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{512 \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{3}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 16 u \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}\, du = 16 \int u \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = \frac{u \pi}{4}$.

                     Luego que $du = \frac{\pi du}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                     $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                        1. La integral del seno es un coseno menos:

                           $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{4 \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{4 \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi}\right)\, du = - \frac{4 \int \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}\, du}{\pi}$

                  1. que $u = \frac{u \pi}{4}$.

                     Luego que $du = \frac{\pi du}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                     $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{4 \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{64 u \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi} + \frac{256 \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{2}}$

            El resultado es: $- \frac{16 u^{2} \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi} + \frac{128 u \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{64 u \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi} + \frac{256 \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{512 \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{- \frac{16 u^{2} \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi} + \frac{128 u \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{64 u \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi} + \frac{256 \sin{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{512 \cos{\left(\frac{u \pi}{4} \right)}}{\pi^{3}}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{- \frac{16 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{128 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{64 x \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} - \frac{256 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{512 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}}{\pi}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4}{\pi} x \left(4 - x\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = - \frac{4 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 16 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{4 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 16 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \left(4 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 16 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)\, dx}{\pi}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

                  Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                  $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = - \frac{8 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{8}{\pi}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

                  Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                  $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{32 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{32 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi^{2}}$

               1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

                  Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                  $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{128 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{512 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 16 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)\, dx = - 16 \int x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

                  Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                  $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{4 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi}$

               1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

                  Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

                  $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{64 x \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} - \frac{256 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}}$

         El resultado es: $- \frac{16 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{128 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{64 x \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} - \frac{256 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{512 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{- \frac{16 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{128 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{64 x \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} - \frac{256 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{512 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}}{\pi}$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \frac{4 x \left(x - 4\right)}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{4 x}{\pi} - \frac{4 \left(x - 4\right)}{\pi}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

         Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

         $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \frac{32 \left(x - 2\right)}{\pi^{2}}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{32}{\pi^{2}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

         Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

         $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{128 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}\, dx = \frac{128 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi^{3}}$

      1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

         Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

         $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{512 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{4}}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4}{\pi} x \left(4 - x\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = - \frac{4 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{16 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{4 \int x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

               Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

               $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - \frac{8 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{8}{\pi}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

               Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

               $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{32 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{32 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi^{2}}$

            1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

               Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

               $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \left(- \frac{4 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{32 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{128 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}\right)}{\pi}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{16 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{16 \int x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

               Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

               $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{4 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi}$

            1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

               Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

               $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \left(- \frac{4 x \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{16 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}}\right)}{\pi}$

      El resultado es: $\frac{16 \left(- \frac{4 x \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{16 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}}\right)}{\pi} - \frac{4 \left(- \frac{4 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{32 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} + \frac{128 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}\right)}{\pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{16 \left(\pi^{2} x \left(x - 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 8 \pi \left(2 - x\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 32 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{16 \left(\pi^{2} x \left(x - 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 8 \pi \left(2 - x\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 32 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{16 \left(\pi^{2} x \left(x - 4\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 8 \pi \left(2 - x\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 32 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}$