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Resolución de integrales/ sin^2/ cos^3/ x+sinx/ cos^3x/sin^2x+sinx

Integral de cos^3x/sin^2x+sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
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 |  |cos (x)         |   
 |  |------- + sin(x)| dx
 |  |   2            |   
 |  \sin (x)         /   
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/                        
0
∫01(sin⁡(x)+cos⁡3(x)sin⁡2(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx 
Integral(cos(x)^3/sin(x)^2 + sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡3(x)sin⁡2(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2−1u2) du\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−1u2 du=−∫u2−1u2 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2−1u2=1−1u2\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

            El resultado es: u+1uu + \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u−1u- u - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −sin⁡(x)−1sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡2(x)=−sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x) dx\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2−1u2 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2−1u2=1−1u2\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

            El resultado es: u+1uu + \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(x)+1sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)−1sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡2(x)=−cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \cos{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1sin⁡(x)- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

        El resultado es: −sin⁡(x)−1sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

    El resultado es: −sin⁡(x)−cos⁡(x)−1sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    2cos⁡(2x+π4)−32sin⁡(x)\frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3}{2 \sin{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2cos⁡(2x+π4)−32sin⁡(x)+constant\frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3}{2 \sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2cos⁡(2x+π4)−32sin⁡(x)+constant\frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3}{2 \sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                                                     
 | /   3            \                                  
 | |cos (x)         |            1                     
 | |------- + sin(x)| dx = C - ------ - cos(x) - sin(x)
 | |   2            |          sin(x)                  
 | \sin (x)         /                                  
 |                                                     
/
∫(sin⁡(x)+cos⁡3(x)sin⁡2(x)) dx=C−sin⁡(x)−cos⁡(x)−1sin⁡(x)\int \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = C - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-50000000100000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.3793236779486e+19
1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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