Integral de dx/(1+sqrt(3)*x)+2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   1. que $u = \sqrt{3} x + 1$.

      Luego que $du = \sqrt{3} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{3} du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{3}}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} x + 1 \right)}}{3}$

   El resultado es: $2 x + \frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} x + 1 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x + \frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} x + 1 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x + \frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x + \frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$